Question

已知正项等比数列{an}，a1=2，又bn=log2an，且数列{bn}的前n项和为Tn，当且仅当n=7时Tn最大，则数

Answer 1

解题思路：由b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q，得出数列{b_n}是等差数列，由已知仅当n=7时T_n最大，通过解不等式b₇＞0，b₈＜0，求出公比q的取值范围即可．

设等比数列{a_n}的公比为q，

则b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n═log₂q

∴数列{b_n}是以log₂q为公差，以log₂a₁=1＞0为首项的等差数列，

其通项公式为b_n=1+（n-1）log₂q．

由于当且仅当n=7时T_n最大，

∴log₂q＜0，且b₇＞0，b₈＜0，

即

1+6log2q＞0

1+7log2q＜0，

∴

log2q＞−

1

6

log2q＜−

1

7，即−

1

6＜log2q＜−

1

7

解得2−

1

6＜q＜2−

1

7，

故答案为：（2−

1

6，2−

1

7）

点评：

本题考点： 等比数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列的判定，前n项和最值情况．由条件得到b7＞0，b8＜0是解决本题的关键．