解题思路:设x<0则-x>0,则f(-x)=
2
−x
+1=
(
1
2
)
x
+1
,由函数为奇函数可得f(-x)=-f(x)及f(0)=0可求函数的解析式,由f(t)<-3,分t<0,t>0,t=0三种情况分别代入f(t)进行解不等式.
设x<0则-x>0,则f(-x)=2−x+1=(
1
2)x+1
由函数为奇函数可得f(-x)=-f(x)
∴f(x)=−((
1
2)x+1),而x=0时,f(0)=0
∴f(x)=
2x+1,x>0
0,x=0
−((
1
2)x+1),x<0
∵f(t)<-3
当t<0时,则有−((
1
2)t+1)<−3即(
1
2)t+1>3,解可得t<-1
当t>0时,2t+1<-3的t不存在
当t=0时,0<-3不成立
综上可得t<-1
故答案为:t<-1
点评:
本题考点: 函数奇偶性的性质.
考点点评: 本题主要考查了利用奇函数的性质求解函数的解析式,解题中不要漏掉对x=0的考虑,还考查了指数函数的单调性在解不等式中的应用,体现了分类讨论的思想在解题中的应用