Question

如图在直角三角形ABC中∠ABC=90 CD⊥AB垂足为D 点E在AC上 BE交CD于点G EF⊥BE交AB于点F 若

Answer 1

（1）EG=EF

【证明】过点E分别作EM垂直于AB,垂足为M；再过点E作EN垂直于CD,垂足为N

当m=1,n=1时,即AC=BC,CE=AE.三角形ABC为等腰直角三角形,角CAD=45度,CD垂直于AB,三角形ACD也为等腰直角三角形.

又点E为AC的中点,易证EM=EN,

又 角EFM+角EBF=90度,角EBF+角BGD=90度,

所以 角EFM=角BGD,

又 角BGD=角EGN

所以 角EFM=角EGN,

从而证明三角形EFM全等于三角形EGN.

故EG=EF.

（2）m=1,n为任意实数时,EF/EN=EM/EN=1/n.

【证明】m=1,n为任意实数时,即AC=BC,CE=nAE,三角形ABC为等腰直角三角形,

角CAD=45度,CD垂直于AB,三角形ACD也为等腰直角三角形.

由于CE=nAE,EM垂直于AB,则三角形AEM相似于三角形ACD,故EM/CD=AE/AC=1/(n+1);

同理由EM垂直于CD,则三角形ENC相似于三角形ADC,故EN/AD=CE/AC=n/(n+1);

由于AD=CD,由上述两式得：EM/EN=1/n.

同（1）中方法类似,有角EFM=角EGN,角EMF=角ENG=90度,三角形EFM相似于三角形EGN,

则EF/EN=EM/EN=1/n.

（3）当m,n均为任意实数,EF/EN=EM/EN=1/mn

【证明】当m,n均为任意实数,AC=mBC,CE=nAE

易证直角三角形ACD相似于直角三角形ABC,则AD/CD=AC/BC=m,

由（2）中证明有：EM/CD=AE/AC=1/(n+1)

EN/AD=CE/AC=n/(n+1)

联立这三个式子有：

EM/EN=1/mn

同理证三角形EFM相似于三角形EGN,

则EF/EN=EM/EN=1/mn.