Question

当x∈[[π/6]，[7π/6]]时，函数y=3-sinx-2cos2x的值域为 ___ ．

Answer 1

解题思路：利用同角三角函数间的关系与二次函数的配方法可求得y=2(sinx−14)2+78，x∈[π6，7π6]⇒-12≤sinx≤1，从而可求函数y=3-sinx-2cos2x的值域．

∵y=3-sinx-2cos²x

=2sin²x-sinx+1

=2(sinx-

1

4)2+[7/8]，

∵x∈[[π/6]，[7π/6]]时，

∴-[1/2]≤sinx≤1，

∴当sinx=[1/4]时，y_min=[7/8]；

当sinx=-[1/2]时，y_max=2；

∴函数y=3-sinx-2cos²x的值域为[[7/8]，2]．

故答案为：[[7/8]，2]．

点评：

本题考点： 三角函数的最值．

考点点评： 本题考查复合函数的值域，着重考查二次函数的配方法与正弦函数的单调性与值域，属于中档题．