Question

对于任意的x∈[﹣∏／6,∏／2],不等式sin²x＋asinx＋a＋3≥0恒成立,则实数a的取值范围是

Answer 1

a(sinx+1)≥-(3+sin^2(x))

-a≤[3+sin^2(x)]/(sinx+1)

令t=sinx

则-1/2≤t≤1

-a≤(3+t^2)/(1+t)={ [(t+1)-1]^2+1 }/(1+t)={ (t+1)^2-2(t+1)+2 }/(t+1)

-a≤[(t+1)+2/(t+1)-2]

恒小也就是左边的-a比右边的最小值还要小,而右边为：

(t+1)+2/(t+1)-2]≥2[√(t+1)*2/(t+1)]-2=2√2-2(当且仅当(t+1=2/(t+1)即,t=√2-1时,取=)

所以-a≤2√2-2

a≥2-2√2