Question

两个复数的积为零时,至少有一个复数为零?

Answer 1

证明：设x=a+bi,y=c+di,a、b、c、d为实数,且xy=0,则

xy=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=0

ac-bd=0,ad+bc=0

ac=bd,ad=-bc

交叉相乘后得

-abcd=abcd

abcd=0

不妨假设a=0,则

bd=0,bc=0

若b=0,则x=0,得证

若b≠0,则c=0,d=0,即y=0,得证

b、c、d为0的情况同法可证.

所以两个复数的积为零时,至少有一个复数为零