Question

如图，⊙O 1 与⊙O 2 外切于点P，外公切线AB切⊙O 1 于点A，切⊙O 2 于点B，

Answer 1

（1）证明：如图，连接O ₂B，O ₁A，则AO ₁⊥AB，O ₂B⊥AB，所以AO ₁∥ O ₂B，

过点P作两圆的公切线PF，交于AB于点F，作O ₁E⊥AP，O ₂D⊥BP．

根据垂径定理，得点E，点D分别是AP，BP的中点．

根据弦切角定理知，∠ABP=∠FPB=

1

2 ∠BO ₂P，∠BAP=∠FPA=

1

2 ∠AO ₁P．

∵AO ₁∥ O ₂B，

∴∠AO ₁P+∠BO ₂P=180°，

∴∠FPB+∠FPA=∠APB=90°，

即AP⊥BP；

（2）证明：∵△APB是直角三角形．

∴∠ABP=∠BO ₂D=∠APO ₁．

设∠ABP=∠BO ₂D=∠APO ₁=β，则有sinβ=

BP

2R ，cosβ=

AP

2r ．

∴tanβ=

r

R ?

BP

AP =

r

R ?

1

tanβ ，

∴（tanβ） ²=

AP 2

BP 2 =

r

R ，

∴

AP 2

BP 2 =

r

R ．

（3）∵∠ABP=∠C，

∴tan∠C=tanβ=tan∠ABP=

r

R =

6

3 ．