Question

已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=e-x，φ（x）=f（x）•g（x）．

Answer 1

解题思路：（1）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．先对函数y=φ（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，

根据φ′（x）＞0求得的区间是单调增区间，φ′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．

（2）先求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而得到切线方程．最后利用定积分的几何意义求面积即可；

（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使φ（x）的极大值为3，再利用导烽工具，求出φ（x）的极大值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

（1）当a=1时，φ（x）=（x²+x+1）e^-x．φ′（x）=e^-x（-x²+x）

当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0

∴φ（x）单调减区间，（-∞，0），（1，+∞），单调增区间为：（0，1）

（2）k=g'（0）=-e^-x|_x-0=-1，切线方程为：y=-x+1

所围成的封闭图形的面积为S=∫₀¹[e^-x-（-x+1）]dx=∫₀¹（e^-x+x-1）dx=（-e^-x+[1/2x2-x)

l10=

1

2-

1

e]

∫10=

1

2-

1

e

（3）φ′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]

令φ′（x）=0，得x=0或x=2-a：

由表可知，φ（x）_极大=φ（2-a）=（4-a）e^a-2

设μ（a）=（4-a）e^a-2，μ′（a）=（3-a）e^a-2＞，

∴μ（a）在（-∞，2）上是增函数，

∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4-a）e^a-2≠3，

∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．（14分）

点评：

本题考点： A:利用导数研究函数的单调性 B:利用导数求闭区间上函数的最值 C:定积分在求面积中的应用

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、利用导数求闭区间上函数的最值、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于中档题．