解题思路：（1）求出函数f（x）的导数，得到导数在x=1时为零．然后列表讨论函数在区间（0，1）和（1，+∞）上讨论函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间和极值；
（2）
g(x)＝f(x)+
2
x]在[1，+∞）上是单调函数，说明g（x）的导数g'（x）在区间[1，+∞）恒大于等于0，或g'（x）在区间[1，+∞）恒小于等于0．然后分两种情况加以讨论，最后综合可得实数a的取值范围．
（1）易知，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
当a=-2时，f′(x)＝2x−
2
x＝
2(x+1)(x−1)
x．…（2分）
当x变化时，f'（x）和f（x）的值的变化情况如下表：…（4分）
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 +
f（x） 递减 极小值 递增由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），极小值是f（1）=1．…（8分）
（2）由g(x)＝x2+alnx+
2
x，得g′(x)＝2x+
a
x−
2
x2．…（9分）
又函数g(x)＝x2+alnx+
2
x为[1，+∞）上单调函数，
①若函数g（x）为[1，+∞）上的单调增函数，
则g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2x−
2
x2+
a
x≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥
2
x−2x2在[1，+∞）上恒成立，
而φ（x）=[2/x−2x2在[1，+∞）上的最大值为φ（1）=0，所以a≥0．…（12分）
②若函数g（x）为[1，+∞）上的单调减函数，
根据①，在[1，+∞）上φ（x）max=φ（1）=0，φ（x）没有最小值．…（13分）
所以g'（x）≤0在[1，+∞）上是不可能恒成立的．…（15分）
综上，a的取值范围为[0，+∞）．…（16分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题是一道导数的应用题，着重考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数恒成立等知识点，属于中档题．
1年前
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