(2008•嘉定区一模)如图,一船在海上由西向东航行,在A处测得某岛M的北偏东α角,前进4km后在B处测得该岛北偏东β角

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  • (1)作MC⊥AB,垂足为C,由已知α=60°,β=30°,所以∠ABM=120°,∠AMB=30°所以BM=AB=4,∠MBC=60°,

    所以MC=BM•sin600=2

    3<3.5,所以该船有触礁的危险.

    设该船自B向东航行至点D有触礁危险,则MD=3.5,在△MBC中,BM=4,BC=2,MC=2

    3,CD=

    3.52−(2

    3)2=0.5,所以,BD=1.5(km),所以,该船自B向东航行1.5km会有触礁危险.

    (2)设CM=x,在△MAB中,由正弦定理得,[AB/sin∠AMB=

    BM

    sin∠MAB],

    即[4

    sin(α−β)=

    BM/cosα],BM=

    4cosα

    sin(α−β),而x=BM•sin∠MBC=BM•cosβ=

    4cosαcosβ

    sin(α−β),

    所以,当x>3.5,即[4cosαcosβ

    sin(α−β)>

    7/2],即[cosαcosβ

    sin(α−β)>

    7/8]时,该船没有触礁危险.