现在我们设t=x^2,(t>=0)则
f(t) = (t-1)^2,g(t) = |t-1| + k,画图,f(t)的图像是以t=1为对称轴,过(0,1)的一条抛物线(因为t的定义域限制,所以只能取t>=0的抛物线).
对于g(t),为了方便起见,我们先设k=0,这个时候,g(t)的图像是以t=1为对称轴,的两条在t轴上方的直线(同样也是取t>=0的部分),分别为：
g(t) = t-1 or -t-1
由于上面讨论的是k=0的情况,当k不等于0时,g(t)图像将沿着t=1上下移动,在这种情况下很容易看出他与f(t)的交点个数情况,也就是根的情况.
现在这样考虑,当g(t)沿t=1从负无穷到正无穷（从下往上）移动时.
首先出现的情况是2个根,这个时候只能是g(t)的两条直线与f(t)相切.求切点,对f(t)求导,则
f'(t) = 2(t-1),
我们只要算右半支,另外可由对称得出,由于相切的时候,切点的斜率为1,则令
f'(t) = 1 = 2(t-1),
所以求得,t = 3/2,
对于另外一个根,由对称,容易求得,t=1/2.
将t = 3/2代入f(t),得f(3/2)=1/4,则切点坐标为（3/2,1/4）,
由于斜率为1,所以和f(x)有一个交点（右半支,由于对称所以另一半还有一个交点）的斜率为1的直线方程为
y - 1/4 = t - 3/2 => y = t - 1/2.
综上分析,这条右半支直线就是g(t)的右半支,所以,
t - 1 - k = t - 1/2,
故 求出k = -1/2.
把t=1/2和3/2分别代入x^2=t中,
则x有4个根,分别为：
x = sqrt(6)/2 or -sqrt(6)/2 or sqrt(2)/2 or -sqrt(2)/2
随着g(t)的上移,当g(t)与f(t)相割的时候就出现了4个交点的情况.由于确定这种情况下k的范围比较复杂,我们先讨论有三个交点的情况,容易观察出,这种情况k的范围就是介于有一个交点的情况和有三个交点的情况之间.
现在分析三个交点,这个很简单,当k=0时很明显,有三个交点,所以根分别为t = 0 or 1 or 2,对应的x有5个根,
x = sqrt(t) or -sqrt(t)
x = 0,1,-1,sqrt(2),-sqrt(2)
所以刚才两个交点的情况就很简单了,并且很容易观察得到所有的交点都是在t>=0范围,所以,-1/2 < k < 0 时,有四个根,对应的x就有8个根
这个时候g(t)继续向上移动,k>0时,观察图像很容易看出,左支的抛物线和直线方程已经没有交点了,只有右边有一个交点,对应的x有2个根.
综上所述,
当 k < -1/2时,方程没有根
当 k = -1/2时,方程有4个根,为x = sqrt(6)/2 or -sqrt(6)/2 or surt(2)/2 or -sqrt(2)/2
当 -1/2 < k < 0 方程有8个根（g(t)每支与f(t)相割成2个交点,共4个交点,对应的x有8个根）
当 k = 0 时,方程有5个根,为 x = 0,1,-1,sqrt(2),-sqrt(2)
当 k > 0 时,x有2个根.
sqrt()为开方函数,sqrt(3)表示的是根号3.
图象我画完了再贴上去.