Question

设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:若|A|=0,则|A*|=0.(请给予详细的证明过程)

Answer 1

可以用反证法

假设|A|=0的时候|A*|!=0 (“不等于”用“!=”代替)

那么A*可逆 （A*可逆的充要条件是|A*|!=0）

所以 A=(A A*)(A*^-1)

=(|A|I)(A^-1),(I为单位矩阵,A^-1为A的逆,AA*=A*A=|A|I)

=|A|（(A*)^-1）=O

因此A=O 故而退出A*=O 但与A*可逆矛盾,所以|A*|=0