不定积分∫sin(x^2)dx求解不定积分.想了好久都没做出来.

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  • 这是一个超越积分(通常也称为不可积),也就是说这个积分的原函数不能用我们所学的任何一种函数来表示.但如果引入新的函数erf(x)=∫[0,x]e^(-t^2)dt,那么该函数的积分就可表示为erf(x)+c.道理很简单,比如∫x^ndx,一般的该积分为1/(n+1)x^(n+1),如果不引入lnx,那么∫1/xdx就不可积了.因此对于一些积分,如果不引入新的函数,那么那些积分就有可能不可积,而且这种情况还会经常遇到.因此对于一些常见的超越积分,一般都定义了相关的新函数.分,一般都定义了相关的新函数.下面就介绍几个常见的超越积分(不可积积分)

    1.∫e^(ax^2)dx(a≠0)

    2.∫(sinx)/xdx

    3.∫(cosx)/xdx

    4.∫sin(x^2)dx

    5.∫cos(x^2)dx

    6.∫x^n/lnxdx(n≠-1)

    7.∫lnx/(x+a)dx(a≠0)

    8.∫(sinx)^zdx(z不是整数)

    9.∫dx/√(x^4+a)(a≠0)

    10.∫√(1+k(sinx)^2)dx(k≠0,k≠-1)

    11.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)

    12.∫dx/√(1+k(sinx)^2)(k≠0,k≠-1)

    以后凡是看到以上形式的积分,不要继续尝试,因为以上积分都已经被证明了为不可积积分.但是要注意的是,虽然以上积分的原函数不是初等函数.但并不意味着他们的定积分不可求,对于某些特殊点位置的定积分还是有可能算出来的,只不过不能用牛顿-莱布尼茨公式罢了!比如∫[0,+∞)e^(-x^2)dx=√π/2,此处的积分值就是用二重积分和极限夹逼的方法得出的,而且只能算出(-∞,+∞)或是(0,+∞)上的值,其他的值只能用数值方法算出近似值.