（1）依题意，抛物线的对称轴为x=﹣2，
∵抛物线与x轴的一个交点为A（﹣1，0），
∴由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（﹣3，0）；
（2）∵抛物线y=ax 2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0）
∴a（﹣1）2+4a（﹣1）+t=0
∴t=3a
∴y=ax 2+4ax+3a
∴D（0，3a）
∴梯形ABCD中，AB∥CD，且点C在抛物线y=ax 2+4ax+3a上，
∵C（﹣4，3a）
∴AB=2，CD=4
∵梯形ABCD的面积为9
∴
（AB+CD）·OD=9
∴
（2+4）|3a|=
（AB+CD）·OD=9
∴a±1
∴所求抛物线的解析式为y=x 2+4x+3或y=﹣x 2﹣4x﹣3；
（3）设点E坐标为（x 0，y 0），依题意，x 0＜0，y 0＞0，且
∴y 0=﹣
x 0
①设点E在抛物线y=x 2+4x+3上，
∴y 0=x 0 2+4x 0+3
解方程组
得
，
∵点E与点A在对称轴x=﹣2的同侧
∴点E坐标为（
，
）， 设在抛物线的对称轴x=﹣2上存在一点P，使△APE的周长最小，
∵AE长为定值，
∴要使△APE的周长最小，只须PA+PE最小
∴点A关于对称轴x=﹣2的对称点是B（﹣3，0）
∴由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x=﹣2的交点
设过点E、B的直线的解析式为y=mx+n
∴
，解得
∴直线BE的解析式为y=
x+
∴把x=﹣2代入上式，得y=
∴点P坐标为（﹣2，
）
②设点E在抛物线y=﹣x 2﹣4x﹣3上 ∴y 0=﹣x 0 2﹣4x 0﹣3，
解方程组
消去y 0，
得
∴△＜0
∴此方程无实数根，
综上，在抛物线的对称轴上存在点P（﹣2，
），使△APE的周长最小。