Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥A

Answer 1

解题思路：（1）根据角平分线性质得出EC=EG，根据勾股定理推出CF=GF即可．

（2）连接BE，推出AE=BE，根据HL证出Rt△AGE≌Rt△BCE即可．

（3）求出BC，根据勾股定理求出AC，设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得出方程6²+x²=（8-x）²，求出方程的解即可．

（1）EC=EG，CF=GF，

理由是：∵∠C=90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，

∴CE=EG，

∵EF=EF，

∴由勾股定理得：CF=GF．

（2）证明：连接BE，

∵AB的垂直平分线DE，

∴AE=BE，

在Rt△AGE和Rt△BCE中，

AE＝BE

EG＝EC，

∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），

∴AG=BC．

（3）∵AG=BC=BF+GF，

∴AG=BC=[1/2]（AF+BF）=[1/2]×12=6，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=

AB2−BC2=

102−62=8，

设EG=EC=x，则AE=8-x，在Rt△AGE中，由勾股定理得：6²+x²=（8-x）²，

解得：x=1[3/4]，

∴EG的长是1[3/4]．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查了线段垂直平分线性质，去掉三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．用了方程思想．