Question

已知ABCD是空间四边形形,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,如果对角线AC=4,BD=2,那么EG2+

Answer 1

依次连接EF、FG、GH、HE∵E是AB中点,H是AD中点,

∴EH∥BD,且EH= BD=1

同理：

FG∥BD,FG= BD=1

所以,EH∥FG,EH=FG

同理,EF∥HG,EF=HG

所以,四边形EFGH为边长为1、2的平行四边形

设∠EHG=θ,那么∠HEF=180°-θ

在△EHG中,由余弦定理有：

EG2=EH2+HG2-2×EH×HG×cosθ=1+4-4cosθ=5-4cosθ

在△EFH中,由余弦定理有：

FH2=EF2+EH2-2×EF×EH×cos（180°-θ）=4+1-4cos（180°-θ）=5+4cosθ

上述两式相加,得到：

EG2+FH2=5-4cosθ+5+4cosθ=10

故选A