由f(n+1)＞f(n)知函数f严格单调递增.
若f(1)=1,则f(f(1))=1≠3,与题设矛盾,故f(1)≥2.
由3=f(f(1))≥f(2)＞f(1)≥2得
f(1)=2,f(2)=3…………………………①
因为f(3n)=f(f(f(n)))=3f(n)………②
由①,②得f(3^n)=3^nf(1)=2·3^n,
f(2·3^n)=3^nf(2)=3^(n+1),n=1,2,3…
注意到2·3^n与3^n之间共有3^n-1个自然数,
而3^(n+1)与3^n之间也恰有3^n-1个自然数,
由f严格单调,可得
f(3^n+m)=2·3^n+m,0≤m≤3^n,n=1,2,3…,
由上式得f(2·3^n+m)=f(f(3^n+m))=3(3^n+m).
2·3^k+m,若n=3^k+m,0≤m≤3^k
于是有f(n)=｛
3(3^k+m),若n=2·3^k+m,0≤m≤3^k,
由于2010=2·3^6+552,
所以f(2010)=3(3^6+552)=3843
!做了一上午,一中午加一下午~
不能随便代那些看上去满足的函数~