如上图,闸门宽B=1.2m,长L=0.9m,h=0.9m (1) 确定闸门是否打开；（2）找出闸门恰好打开时的水深.
关门力矩M1=mgr1=1000*9.8*0.3= 2940 N-m （与水深天关）
开门力矩M2由水压力产生：
闸门上缘的水深 h1=h-Lsin60
闸门形心处的水深 Hc=(h1+h)/2
开门的水压力F=ρgHcBL=ρg(h1+h)BL/2,
水压力F对铰A的力臂r2= L(h1+2h)/[3(h1+h)]
水压力F对铰A的力矩M2= F*r2=[ρg (h1+h)BL/2]*L(h1+2h)/[3(h1+h)]= (ρgBL^2/6)(2h+h1) =(ρgBL^2/6)(3h-Lsin60)
（1） 当水深h=0.9m 时：
M2= (ρgBL^2/6)(3h-Lsin60) = (1000*9.8*1.2*0.9^2/6)(3*0.9-0.9sin60)=3049.11 N-m
此时M2>M1,闸门处于打开状 .
（2） 水压力恰使闸门打开,需使M2=M1
即 (ρgBL^2/6)(3h-Lsin60)=2940
（1000*9.8*1.2*0.9^2/6）*(3 h-0.9*sin60) =2940
3 h-0.9*sin60 =1.8519
h = 0.8771 m
水压力恰使闸门打开时的水深为0.8771 m .
补充：楼主积分式是对的（倒数第二行也是对的）,但最后结果是错的,我按你的式子算得结果也是0.8771m .