(1)BG=AE,理由见解析;(2)①成立,理由见解析;②
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试题分析:(1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论.
(2)①如图2,连接AD,由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论;
②由①可知BG=AE,当BG取得最大值时,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出结论.
试题解析:(1)BG=AE.理由如下:
如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,BD="CD." ∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵四边形DEFG是正方形,∴DE=DG.
在△ADE和△BDG中,∵DC=DB,∠ADC=∠ADB,DE=DG,∴△ADE≌△BDG(SAS).∴BG=AE.
(2)①成立.理由如下:
如图2,连接AD,
∵在Rt△BAC中,D为斜边BC中点,∴AD=BD,AD⊥BC. ∴∠ADG+∠GDB=90°.
∵四边形EFGD为正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°.∴∠ADG+∠ADE=90°.∴∠BDG=∠ADE.
在△BDG和△ADE中,∵BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,∴△BDG≌△ADE(SAS).∴DG=AE.
②∵BG=AE,
∴当BG取得最大值时,AE取得最大值.
如图3,当旋转角为270°时,BG=AE.
∵BC=DE=4,∴BG=2+4=6.∴AE=6.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得
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