如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上

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  • (1)BG=AE,理由见解析;(2)①成立,理由见解析;②

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    试题分析:(1)由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论.

    (2)①如图2,连接AD,由等腰直角三角形的性质及正方形的性质就可以得出△ADE≌△BDG就可以得出结论;

    ②由①可知BG=AE,当BG取得最大值时,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出结论.

    试题解析:(1)BG=AE.理由如下:

    如图1,∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点,

    ∴AD⊥BC,BD="CD." ∴∠ADB=∠ADC=90°.

    ∵四边形DEFG是正方形,∴DE=DG.

    在△ADE和△BDG中,∵DC=DB,∠ADC=∠ADB,DE=DG,∴△ADE≌△BDG(SAS).∴BG=AE.

    (2)①成立.理由如下:

    如图2,连接AD,

    ∵在Rt△BAC中,D为斜边BC中点,∴AD=BD,AD⊥BC. ∴∠ADG+∠GDB=90°.

    ∵四边形EFGD为正方形,∴DE=DG,且∠GDE=90°.∴∠ADG+∠ADE=90°.∴∠BDG=∠ADE.

    在△BDG和△ADE中,∵BD=AD,∠BDG=∠ADE,GD=ED,∴△BDG≌△ADE(SAS).∴DG=AE.

    ②∵BG=AE,

    ∴当BG取得最大值时,AE取得最大值.

    如图3,当旋转角为270°时,BG=AE.

    ∵BC=DE=4,∴BG=2+4=6.∴AE=6.

    在Rt△AEF中,由勾股定理,得

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