Question

设M=｛a+b√2 / |a²-2b²|=1,a,b∈Z ｝,已知x,y∈M,求证①xy∈M ②1/

Answer 1

设x=a+b√2,y=c+d√2

则|a^2-2b^2|=|c^2-2d^2|=1.

xy=(ac+2bd)+(ad+bc)√2

1/x=1/(a+b√2)=(a-b√2)/(a^2-2b^2)

=±(a-b√2)

因为

|(ac+2bd)^2-2(ad+bc)|^2

=|a^2c^2+4b^2d^2-2a^2d^2-2b^2c^2|

=|(a^2-2b^2)(c^2-2d^2)|

=1

|(±a)^2-2(±b)^2|

=|a^2-2b^2|=1

以及ac+2bd,ad+bc,±a,±b都是整数.

所以①xy∈M ②1/x ∈ M均成立.