1．设A为m阶方阵,以'代表一个矩阵的逆,diag(a1,a2,...,am)表示对角阵．
求出A的相似标准型,即求矩阵P,使得P'AP＝diag(a1,a2,...,am)＝B．那么PBP'＝A,A^n＝(PBP')^n＝P(B^n)P'＝Pdiag(a1^n,a2^n,...,am^n)P'．
由此,lim A^n＝lim Pdiag(a1^n,a2^n,...,am^n)P'(n→∞)．
2．根据特征根及schmidt正交化可以求出1中的矩阵P为：
P＝（1/sqrt2）*｜1,1,-1,1｜ (因为回答不支持全角格式,所以按照|a11,a12,a21,a22|的顺序约定一个二阶矩阵的写法．)
且P'AP＝diag(x-1,x+1)．A＝Pdiag(x-1,x+1)P'.
A^n＝(Pdiag(x-1,x+1)P')^n
＝Pdiag((x-1)^n,(x+1)^n)P'
＝(1/2)|1,1,-1,1|*diag((x-1)^n,(x+1)^n)|1,-1,1,1|
＝(1/2)｜(x+1)^n+(x-1)^n,(x+1)^n-(x-1)^n,(x+1)^n-(x-1)^n,(x+1)^n+(x-1)^n|.
回楼主,当n＝2时,A^2得到的2阶矩阵显然每个元素都非0．为|x^2+1,2x,2x,x^2+1|.
对一个m阶矩阵A＝(aij),i,j＝1,2,...,m.求A^n即得m阶矩阵B=(bij),i,j＝1,2,...,m.显然,所求矩阵B中每个元素bij依赖于n,记为函数bij(n).若对每个i,j＝1,2,...,m,极限lim[bij(n)](n→∞)都存在,那么极限:lim A^n＝lim B＝lim[bij(n)](n→∞).
回楼主,对一个矩阵A,计算多项式f(∧)＝|∧I-A|的零点(根),假如相异的实根个数和A的阶数相同,那么矩阵A必定可对角化.当然,这只是个充分条件,而非必要条件.对于你在2中列出的矩阵A,|∧I-A|=(x-∧)^2-1=(x-∧+1)(x-∧-1).解得两个相异实根:x+1,x-1.那么A可对角化,对角矩阵就是diag(∧1,∧2).至于P的求法,是按如下步骤进行的:代入特征根∧1,解出方程组(∧1I-A)X=0的基础解系X(在2问中X是个2维列向量),并对其单位化.同样解出(∧2I-A)Y=0,并对Y单位化.这样,得到的(X,Y)就是所求矩阵P.