已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=−23.

4个回答

  • 解题思路:(1)直接利用函数单调性的定义进行判定,设在R上任意取两个数m,n且m>n,判定f(m)-f(n)的符号即可得到结论;

    (2)先研究函数的奇偶性,然后根据单调性可得函数f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

    (1)设在R上任意取两个数m,n且m>n

    则f(m)-f(n)=f(m-n)

    ∵m>n∴m-n>0

    而x>0时,f(x)<0则f(m-n)<0

    即f(m)<f(n)

    ∴f(x)为减函数;

    (2)由(1)可知f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).

    ∵f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0

    ∴f(0)=0

    令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)

    ∴f(x)是奇函数

    而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2,则f(-3)=2

    ∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2.

    点评:

    本题考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义.

    考点点评: 本题主要考查了函数的单调性的判定和奇偶性的判定,以及抽象函数的应用,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.