Question

高数题,两种方法,普通方法和轮换对称性,

Answer 1

由轮换对称性,∫∫x^2dS=∫∫y^2dS=∫∫x^2dS=1/3∫∫(x^2+y^2+z^2)dS,所以∫∫(x^2+2y^2+4z^2)dS＝7/3∫∫(x^2+y^2+z^2)dS＝7/3∫∫dS＝7/3×4π＝28π/3.

直接计算的话,化为二重积分.∑分为上下两部分,∑1：z=√(1-x^2-y^2),∑2：z=-√(1-x^2-y^2).∑1与∑2在xOy面上的投影区域都是D：x^2+y^2≤1,dS=dxdy/√(1-x^2-y^2).

所以,∫∫z^2dS=2∫∫ (1-x^2-y^2)×1/√(1-x^2-y^2)dxdy＝2∫∫ √(1-x^2-y^2)dxdy＝2×2π/3＝4π/3.

同理,∫∫x^2dS=4π/3,∫∫y^2dS=4π/3.

所以,∫∫(x^2+2y^2+4z^2)dS＝4π/3+8π/3+16π/3＝28π/3.