Question

（2013•湖北模拟）设{an}是集合{2t+2s|0≤s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排成的数列，即a1=3，a

Answer 1

（I）第n行有n个数，设a₂₇在第n行，则

n(n−1)

2+1≤27≤

n(n+1)

2，

则n=7，且a₂₇为第7行的第6项，

则a₂₇=2⁷+2^6-1=128+32=160；

（II）依题意，第n行的总和

i

i＝1bij=（2ⁿ+2⁰）+（2ⁿ+2¹）+…+（2ⁿ+2^n-1）=（n+1）2ⁿ-1，

n

i＝1（

i

i＝1bij）=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n=（2×2¹-1）+（3×2²-1）+…+（n×2^n-1-1）+[（n+1）2ⁿ-1]=[2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1+（n+1）2ⁿ]-n，

2

n

i＝1（

i

i＝1bij）=[2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ+（n+1）2ⁿ⁺¹]-2n，

两式相减，并由等比数列前n项和公式得：

n

i＝1（

i

i＝1bij）=-2×2¹-[2²+2³+…+2ⁿ]+（n+1）2ⁿ⁺¹-n

=n×（2ⁿ⁺¹-1）．

故答案为：160，n（2ⁿ⁺¹-1）