Question

设经过点F(1,0)直线l与椭圆x^2/2+y^2=l交于A,B两点.求直线l,使以AB为直径的圆通过原点

Answer 1

设直线 L 方程为 y=k(x-1) ,

代入椭圆方程得 x^2/2+[k(x-1)]^2=1 ,

化简得 (2k^2+1)x^2-4k^2*x+2k^2-2=0,

设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,

则 x1+x2= 4k^2/(2k^2+1) ,x1*x2=(2k^2-2)/(2k^2+1) ,

因此 y1*y2=k(x1-1)*k(x2-1)=k^2[x1*x2-(x1+x2)+1]= -k^2/(2k^2+1) ,

由于以 AB 为直径的圆过原点,因此 AO丄BO ,则 x1x2+y1y2=0 ,

即 (2k^2-2)/(2k^2+1)-k^2/(2k^2+1)=0 ,

解得 k^2=2 ,k=±√2 ,

因此,所求直线 L 的方程为 y=√2(x-1) 或 y= -√2(x-1) .