△ABC中,己知∠A>∠B>∠C,且∠A=2∠C,b=4,a+c=8,求a,c的长.

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  • 解题思路:根据正弦定理得bsinB=a+csinA+sinC,结合已经条件算出sin2C+sinC=2sin3C,利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简整理,得8cos2C-2cosC-3=0,解出锐角C的余弦值为34.最后利用余弦定理建立关系式,结合a+c=8即可解出边a、c的长.

    根据正弦定理[a/sinA]=[b/sinB]=[c/sinC],得[b/sinB]=[a+c/sinA+sinC]

    ∵b=4,a+c=8,∠A=2∠C,

    ∴[4

    sin(π−3C)=

    8/sin2C+sinC],可得sin2C+sinC=2sin(π-3C)=2sin3C

    ∵sin2C=2sinCcosC,sin3C=sin(2C+C)=sin2CcosC+cos2CsinC=2sinCcos2C+sinC(2cos2C-1)

    ∴2sinCcosC+sinC=2[2sinCcos2C+sinC(2cos2C-1)]

    结合sinC>0,化简整理得:8cos2C-2cosC-3=0,

    解之得cosC=[3/4]或cosC=-[1/2]

    ∵∠A>∠B>∠C,得C为锐角,

    ∴cosC=-[1/2]不符合题意,舍去

    根据余弦定理,得cosC=

    a2+b2−c2

    2ab=[3/4],

    a2+42−(8−a)2

    2×a×4=[3/4],解之得a=[24/5],c=8-a=[16/5]

    综上,a、c的长分别为[24/5]、[16/5].

    点评:

    本题考点: 余弦定理;正弦定理.

    考点点评: 本题给出△ABC的最大角等于最小角的2倍,最大边与最小边之和等于第三边的2倍,求边a、c的长.着重考查了三角恒等变换和利用正余弦定理解三角形的知识,属于中档题.