Question

刘老师好,A,B是同阶方阵,Tr A^k= Tr B^k对所有正整数k成立,怎么证A,B的特征值对应相等呢?

Answer 1

设A的特征值为a1,a2,...,an,B的特征值为b1,b2,...,bn

则A^k的特征值为a1^k,a2^k,...,an^k,B^k的特征值为b1^k,b2^k,...,bn^k

而TrA^k=a1^k+a2^k+...+an^k,TrB^k=b1^k+b2^k+...+bn^k

∴a1^k+a2^k+...+an^k=b1^k+b2^k+...+bn^k 对任意正整数k成立

设|ai|=max(|a1|,|a2|,...,|an|),|bj|=max(|b1|,|b2|,...,|bn|),若|ai|>|bj|,则

(a1^k+a2^k+...+an^k)/ai^k=(b1^k+b2^k+...+bn^k)/ai^k,令k->+∞

则等式左边=1,等式右边=0,两边不等,矛盾.

同理若|ai|+∞,也可得矛盾,∴只能ai=bj

在等式a1^k+a2^k+...+an^k=b1^k+b2^k+...+bn^k 左右两边同时约掉ai^k和bj^k

对剩下的数作同样如上处理,可知等式两边绝对值最大的数也必然相同

依次下去,即知{a1,a2,...,an}和{b1,b2,...,bn}这两组数相同

即A,B的特征值是相同的