Question

已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x-4y+4=0与圆C相切

Answer 1

解题思路：（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），可得圆C的方程的方程．再根据圆心到直线的距离等于半径求得a的值，可得圆C的方程．

（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，代入圆的方程化简，里哦也难怪根与系数的关系求得

x

1

+

x

2

＝

4+6k

1+

k

2

，

x

1

x

2

＝

9

1+

k

2

，再由x₁x₂+y₁y₂=3，求得k的值，可得∴直线l的方程．求得圆心C到l的距离d、以及|AB|的值，再由

S

△AOB

＝

1

2

|AB|•h

，计算求得结果．

（I）设圆心为C（a，0），（a＞0），则圆C的方程为（x-a）²+y²=4．

因为圆C与3x-4y+4=0相切，所以

|3a+4|

32+42＝2，解得：a＝2或a＝−

14

3（舍），

所以圆C的方程为：（x-2）²+y²=4．…（4分）

（II）依题意：设直线l的方程为：y=kx-3，由

y＝kx−3

(x−2)2+y2＝4得（1+k²）x²-（4+6k）x+9=0，

∵l与圆C相交于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴△=（4+6k²）-4（1+k²）×9＞0，且x1+x2＝

4+6k

1+k2，x1x2＝

9

1+k2，

∴y1y2＝(kx1−3)(kx2−3)＝k2•x1x2−3k(x1x2)+9＝

9k2

1+k2−

12k+18k2

1+k2+9，

又∵x₁x₂+y₁y₂=3，∴

9k2

1+k2+

9k2

1+k2−

点评：

本题考点： 圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．