首先有个前提“过一点的切平面是唯一的”这个不证明.
设曲面方程F（x,y,z)=0有连续连续偏导数,任取方程上一点M0（x0,y0,z0),
对于过M0的任意一条曲线l,设参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t),满足F(x(t),y(t),z(t))=0.
参数方程在M0点,设对应点为（x(t0),y(t0),z(t0)）,
对F求导可得
Fx(M0)*x'(t0)+Fy*y'(t0)+Fz*z'(t0)=0
可以看出向量n=（Fx(M0),Fy(M0),Fz(M0)）与向量t=（x(t0),y(t0),z(t0)）垂直
因为t是曲线l过M0的切线,而切平面是唯一的,当曲线l任取时,t总在切平面上,故n为切平面的法向量.
对比梯度的定义（Fx,Fy,Fz）可知,在曲面上任意一点的梯度等于过该点切平面的法向量