你可能是写错了：
如果如你所写的1*1/2+2*1/3+3*1/4+.+39*1/40
1*1/2+2*1/3+3*1/4+.+39*1/40
=(1-1/2)+(1-1/3)+(1-1/4)+.+(1-1/40)
=41-(1+1/2+1/3+.+1/40)
=41-4.28
=36.72
1+1/2+1/3+.+1/40+.是调和级数
调和级数是没有通项公式的,实际上只能近似计算：
这里我用计算机算了一下：1+1/2+1/3+.+1/40≈4.28
当n很大时,有个近似公式：1+1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n=γ+ln(n)
γ叫做欧拉常数,γ=0.57721566490153286060651209...
ln(n)是n的自然对数（即以e为底的对数,e=2.71828...）
如果是第二种情况,就是你写错了,那么应该是：
1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+.+1/(39*40)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+.+(1/39-1/40)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.-1/39+1/39-1/40
=1+0+0+0+.-1/40
=1-1/40
=39/40
类似：1/[a*(a+n)]=(1/n)*[1/a-1/(a+n)]
例子：
1/56=1/(7*8)=1/7-1/8
1/12=1/(2*6)=(1/4)*[1/2-1/6]
.
等等