Question

已知点PQ分别在射线y=x和y=-x上,且△POQ的面积为1,求线段PQ的中点M的轨迹方程

Answer 1

设PQ与y=x的交点为 P=P(p,p) p>0

PQ与y=-x的交点为 Q=Q(q,-q) q>0

PQ中点为M=M(x,y),则x=(p+q)/2,y=(p-q)/2

可得 x+y=p, x-y=q

易知|OP|=√2p,|OQ|=√2q,且OP⊥OQ （因为直线y=x与y=-x垂直）

又S△POQ=1=1/2*|OP|*|OQ|=1/2*√2p*√2q=pq

∴pq=(x+y)(x-y)=x^2-y^2=1,(x≥1) 此即中点M的轨迹方程

易知,此轨迹为双曲线在x正半轴上的一支