Question

（2009•上海）设函数fn（θ）=sinnθ+（-1）ncosnθ，0≤θ≤π4，其中n为正整数．

Answer 1

解题思路：（1）设 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，[π/4]]，根据三角函数的特点判断f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁）＜0，从而得出结论；

（2）首先利用余弦的二倍角公式化简原式的左边等于cos²2θ，同理原式右边也等于cos²2θ，从而证明结论．

（3）当n=1时，f₁（θ）在[0，[π/4]]上单调递增，求出最值；当n=3时，f₃（θ）在[0，[π/4]]上为单调递增，求出最值；正奇数n≥5的情形，首先根据定义判断出函数的单调递增，从而得出f_n（θ）的最大值为f_n（[π/4]）=0，最小值为f_n（0）=-1．

（1）f₁（θ）、f₃（θ）在0≤θ≤

π

4，上均为单调递增的函数．

对于函数f₁（θ）=sinθ-cosθ，设 θ₁＜θ₂，θ₁、θ₂∈[0，[π/4]]，则

f₁（θ₁）-f₁（θ₂）=（sinθ₁-sinθ₂）+（cosθ₂-cosθ₁），

∵sinθ₁＜sinθ₂，cosθ₂＜cosθ₁
∴f₁（θ₁）＜f₁（θ₂）函数f₁（θ）在[0，[π/4]]上单调递增．

（2）∵原式左边=2（sin⁶θ+cos⁶θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）

=2（sin²θ+cos²θ）（sin⁴θ-sin²θcos²θ+cos⁴θ）-（sin⁴θ+cos⁴θ）

=1-sin²2θ=cos²2θ．

又∵原式右边=（cos²θ-sin²θ）2=cos²2θ

∴2f₆（θ）-f₄（θ）=（cos⁴θ-sin⁴θ）（cos²θ-sin²θ）．

（3）当n=1时，函数f₁（θ）在[0，[π/4]]上单调递增，

∴_f1（θ）的最大值为f₁（[π/4]）=0，最小值为f₁（0）=-1．

当n=3时，函数f₃（θ）在[0，[π/4]]上为单调递增．

∴f₃（θ）的最大值为f₃（[π/4]）=0，最小值为f₃（0）=-1．

下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ1、θ₂∈[0，[π/4]]，且θ₁＜θ₂
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），

以及 0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1 0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，

∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂ cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，从而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．

∴f_n（θ）在[0，[π/4]]上为单调递增，

则f_n（θ）的最大值为f_n（[π/4]）=0，最小值为f_n（0）=-1．

综上所述，当n为奇数时，函数f_n（θ）的最大值为0，最小值为-1．

点评：

本题考点： 三角函数的最值；函数单调性的判断与证明；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评： 本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，一般根据定义判断函数的单调性，此题有一定难度．