第一题,先看f(x)=0和g(x)=0的解的区间
f(x)=0的解的区间在(-2,-1),(0,1)和(1,2),g(x)=0的解的区间在(-2,-1)和(0,1)
求f[g(x)]=0和f[f(x)]=0的解的个数,则是看g(x)和f(x)在函数值为(-2,-1),(0,1)和(1,2)中时,解的个数,由此得到f[g(x)]=0解的个数为六个,f[f(x)]=0的解的个数为五个
求g[f(x)]=0和g[g(x)]=0的解的个数,则是看(x)和f(x)在函数值为(-2,-1)和(0,1)中时,解的个数,由此的到g[f(x)]=0解的个数为四个,g[g(x)]=0的解的个数为四个
因此正确的命题为1、3、4
第二题,图有错误,当x＞0时,f(x)为一个周期函数,后面的图像的周期为1,画图的时候重复(-1,0]区间中的图像即可,看g(x)的零点,就是看f(x)和x+a的交点个数,一旦作出正确的图像,就可以得出a的范围为a＜1
第三题,第一问,直接带入f(x1)+f(x2)=lg(x1²+2)+lg(x2²+2)=lg[(x1²+2)(x2²+2)]则即是要证明
(x1²+2)(x2²+2)＞(x1+x2)²+2将两式两边打开,可以得到结论是显然的
第二问,首先由f(x)的定义域为R得到a≥0,直接带入f(x1)+f(x2)=lg[(2^x1+a)(2^x2+a)]则是要求
(2^x1+a)(2^x2+a)＞2^(x1+x2)+a恒成立的a的取值范围,将两边打开化简得到2^x1+2^x2+a＞1
由于x1与x2的取值为R,由此得到a的取值范围为a≥1