Question

已知圆E：（x-1）2+（y-2）2=25直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．

Answer 1

（1）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0可化为（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，

∵m∈R，∴x+y-4=0，且2x+y-7=0，得x=3，y=1，

即l恒过定点M（3，1）．

∵圆心E（1，2），|ME|=

5＜5，

∴点M在圆E内，从而直线l恒与圆E相交于两点．

（2）设x=1+5cosα，y=2+5sinα，则x+y=3+5（cosα+sinα）=3+5

2sin（α+θ）∈[3-5

2，3+5

2]；

（3）设圆心E到AC，BD的距离分别为d₁，d₂，则d12+d22=EM=5，

∴四边形ABCD的面积S=[1/2|AC||BD|=2

(25−d12)(25−d22)]≤50-（d12+d22）=45．