Question

已知数列{a n }满足：a 1 =1；a n+1 -a n =1，n∈N * ，数列{b n }的前n项和为S n ，

Answer 1

（1）由已知得数列{a _n}为等差数列，首项为1，公差为1．

∴数列{a _n}的通项公式为a _n=n…2分

∵S _n+b _n=2，

∴S _n+1+b _n+1=2，

两式相减得S _n+1-S _n+b _n+1-b _n=0，

即2b _n+1-b _n=0，

化简得

b n+1

b n =

1

2 …4分

所以数列{b _n}为等比数列，…5分

又S ₁+b ₁=2，

∴b ₁=1…6分

所以b _n=

1

2 n-1 …7分

（2）由（1）可得 c n =

1

( a n +1)( a n+1 +1) =

1

(n+1)(n+2) =

1

(n+1) -

1

(n+2) …10分

∴T _n=（

1

2 -

1

3 ）+（

1

3 -

1

4 ）+…+（

1

(n+1) -

1

(n+2) ）=

1

2 -

1

(n+2) =

n

2(n+2) …12分．