Question

（2010•乐山）在△ABC中，D为BC的中点，O为AD的中点，直线l过点O．过A、B、C三点分别做直线l的垂线，垂足分

Answer 1

解题思路：（1）因为BE⊥l，GF⊥l，所以四边形BCFE是梯形，又因为D是BC的中点，由梯形的中位线定理可得BE+CF=2DG，O为AD的中点，故可证h₂+h₃=2h₁；

（2）①过点D作DH⊥l，垂足为H，根据AAS易证△AGO≌△DHO，所以DH=AG，又因为D为BC的中点，由梯形的中位线性质可得2AG=BE+CF，故（1）结论成立；②h₁、h₂、h₃满足关系：h₂-h₃=2h₁．

（1）证明：∵BE⊥l，CF⊥l，

∴CF∥EB．

又由图知，EF≠BC，

∴四边形BCFE是梯形

又∵GD⊥l，D是BC的中点，

∴GD∥FC，

∴DG是梯形的中位线

∴BE+CF=2DG

又∵O为AD的中点

∴AG=DG

∴BE+CF=2AG

即h₂+h₃=2h₁；

（2）①成立；

证明：过点D作DH⊥l，垂足为H，

在△AGO和△DHO中，

∵

∠AGO＝∠DHO

∠AOG＝∠DOH

OA＝OD

∴△AGO≌△DHO（AAS）

∴DH=AG，

∵DH⊥L，BE⊥L，CF⊥L，

∴BE∥DH∥FC，

又∵D为BC的中点，由梯形的中位线性质

∴2DH=BE+CF，即2AG=BE+CF

∴h₂+h₃=2h₁成立；

②h₁、h₂、h₃满足关系：h₂-h₃=2h₁．

点评：

本题考点： 梯形；全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理．

考点点评： 此题把梯形、梯形的中位线定理和全等三角形的判定结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．