Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中点．求证：平面MBD⊥平面BDC1．

Answer 1

解题思路：设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C₁P，易证C₁P⊥BD，MP⊥BD，通过计算可证得

C

1

M

2

=

C

1

P

2

+MP²，从而证得C₁P⊥MP，利用面面垂直的判定定理即可证得结论．

证明：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁的中点，作图如下：

不妨设该正方体的边长为1，取BD的中点为P，连接MP，C₁P，

∵△C₁BD为边长为

2的等边三角形，点P为BD的中点，

∴C₁P⊥BD，且C₁P=C₁Dsin60°=

2×

3

2=

6

2；

同理，在等腰三角形BMD中，MP⊥BD；①

∴直角三角形MPD中，MD=

12+(

1

2)2=

5

2，PD=

2

2，

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查作图与运算、推理证明的能力，证得C1P⊥MP是关键，属于中档题．