Question

（2006•宁波）如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点M，AD=BC，连接AC．

Answer 1

解题思路：（1）由等弧对等角可得∠MCA=∠MAC，再由等角对等边得AM=MC；

（2）求证△AOM∽△ABC、有AO•AC=AM•AB，而AC=2AO，故有AC²=2AM•AB．

证明：（1）∵弧AD=弧CB，

∴∠MCA=∠MAC．

∴△MAC是等腰三角形．

（2）连接OM，

∵AC为⊙O直径，

∴∠ABC=90°．

∵△MAC是等腰三角形，AM=CM，OA=OC，

∴MO⊥AC．

∴∠AOM=∠ABC=Rt△．

∵∠MAO=∠CAB，

∴△AOM∽△ABC．

∴[AB/OA=

AC

AM]

∴AO•AC=AM•AB．

∴AC²=2AM•AB．

点评：

本题考点： 圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题利用了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直径对的圆周角为直角，相似三角形的判定和性质求解．