解题思路：（I）先根据求导公式和法则求出导数，再结合条件和导数的几何意义，列出方程组进行求解，利用条件进行取舍；
（Ⅱ）由函数y1=x，y2=
1
x]都是奇函数，可得它们的和函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．再由图象平移法则，得到函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形．
（Ⅲ）先在曲线上任取一点（x0，x0+
1
x
0
−1
），利用导数的几何意义和点斜式求出过此点的切线方程，令x=1得切线与直线x=1交点，令y=x得切线与直线y=x交点．再由利用三角形的面积公式求得所围三角形的面积为定值．
（Ⅰ）由题意得，f′（x）=a-
1
(x−b)2]，
∵在点（2，f（2））处的切线方程为y=3，
∴
a−
1
(2−b)2＝0
2a+
1
2+b＝3，解得
a＝1
b＝−1或
a＝
9
4
b＝−
8
3，
∵a、b∈Z，∴
a＝1
b＝−1，
则f（x）=x+[1/x−1]，
（Ⅱ）证明：由函数y1=x，y2=[1/x]都是奇函数得，函数g（x）=x+[1/x]也是奇函数，
则g（x）的图象是以原点为中心的中心对称图形，
∵f（x）=x+[1/x−1]=x-1+[1/x−1]+1，
∴将函数g（x）的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得到函数f（x）的图象，
∴函数f（x）的图象是以点（1，1）为中心的中心对称图形，
（Ⅲ）证明：在曲线上任取一点（x0，x0+[1
x0−1），则由（I）得，f′(x0)＝1−
1
(x0+1)2，
∴过此点的切线方程为：y-（x0+
1
x0−1）=（1−
1
(x0+1)2）（x-x0），
令x=1得y=
x0+1
x0−1，切线与直线x=1交点为（1，
x0+1
x0−1），
令y=x得y=2x0-1，切线与直线y=x交点为（2x0-1，2x0-1）．
∵直线x=1与直线y=x的交点为（1，1）．
∴所围三角形的面积为
1/2|
x0+1
x0−1−1||2x0-1-1|=
1
2|
2
x0−1|||2x0-2|=2，
故所围三角形的面积为定值2．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；三角形的面积公式；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解及待定系数法等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．
1年前
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