解题思路:(1)作梯形的一条高AE,发现30°的直角三角形ABE,根据锐角三角函数求得BE,AE的长,再进一步求得CE的长,从而完成求解过程;
(2)显然MN是梯形的中位线,主要是求得上底的长即可.再作梯形的另一条高,根据全等三角形和矩形的性质求得梯形的上底.
(1)如图,作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE中,
BE=AB•cosB=8×cos60°=4,
AE=AB•sinB=8×sin60°=4
3,
∴CE=BC-BE=12-4=8.
在Rt△ACE中,
tan∠ACB=
AE
EC=
4
3
8=
3
2.
(2)作DF⊥BC于F,则四边形AEFD是矩形.
∴AD=EF,DF=AE.
∵AB=DC,∠AEB=∠DFC=90°,
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)
∴CF=BE=4,
EF=BC-BE-CF=12-4-4=4,
∴AD=4.
又∵M、N分别是AB、DC的中点,
∴MN是梯形ABCD的中位线,
∴MN=[1/2](AD+BC)=[1/2](4+12)=8.
点评:
本题考点: 解直角三角形;全等三角形的判定;三角形中位线定理.
考点点评: (1)结合等腰梯形的特点,构造直角三角形,然后根据三角函数的定义来求∠ACB的正切值.
(2)在等腰梯形上添加辅助线,将等腰梯形划分为两个全等的直角三角形和一个矩形,然后求得AD的长,再由梯形的中位线的性质求线段MN的长.