第一个问题:
∵平面ABC⊥平面BCD、平面ABC∩平面BCD=BC、CD⊥BC,∴CD⊥平面ABC,∴AB⊥CQ.
第二个问题:
设AB=a,则AC=a.
∵AB⊥AC,AB=AC=a,∴BC=√2AB=√2a.
∵CD⊥BC、CD=BC=√2a,∴BD=√2BC=2a.
∵CD⊥平面ABC,∴CD⊥AC,∴AD=√(AC^2+CD^2)=√(a^2+2a^2)=√3a.
由余弦定理,有:
cos∠ADP=(AD^2+BD^2-AB^2)/(2AD×BD)=(3a^2+4a^2-a^2)/(2×√3a×2a)
=6/(4√3)=√3/2.
显然有:AP=DP,∴容易求出:cos∠ADP=(AD/2)/DP=(√3/2)a/DP,
∴(√3/2)a/DP=√3/2,∴DP=a.
显然还有:AQ=DQ,∴容易求出:cos∠ADQ=(AD/2)/DQ=(√3/2)a/DQ,
又cos∠ADQ=CD/AD=√2a/(√3a)=√6/3,∴(√3/2)a/DQ=√6/3,∴DQ=2√2a/3.
∵BC=CD、BC⊥CD,∴∠BDC=45°,∴sin∠BDC=√2/2.
∴△DPQ的面积=(1/2)DP×DQsin∠BDC=(1/2)a(2√2a/3)×(√2/2)=a^2/3.
而△BCD的面积=(1/2)BC×CD=(1/2)√2a×√2a=a^2.
△ABC的面积=(1/2)AB×AC=a^2/2.
△ADQ的面积=(1/2)DQ×AC=(1/2)(2√2a/3)a=√2a^2/3.
令A到平面BCD的距离为b,则:
很明显有:(1/3)b×△BCD的面积=(1/3)CD×△ABC的面积,
∴a^2b=√2a×a^2/2,∴b=√2a/2.
令P到平面ACQ的距离为m、垂足为E,则:
很明显有:(1/3)b×△DPQ的面积=(1/3)m×△ADQ的面积,
∴(√2a/2)a^2/3=m(√2a^2/3),∴m=a/2.
于是:sin∠PAE=m/AP=(a/2)/a=1/2,∴∠PAE=30°.
即:AP与平面ACQ所成的角为30°.