Question

如图所示，已知圆C：（x+1） 2 +y 2 =8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足

Answer 1

（1）∵NP为AM的中垂线

∴NA=NM

∴NA+NC=CM=2

2

∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=2

2

∴ a=

2 ，c=1

∴b=1

∴方程为

x 2

2 + y 2 =1

（2）当 λ=

1

2 时，即G为FH中点时，设G（x ₁，y ₁）、H（x ₂，y ₂）

∴

x 2 =2 x 1

y 2 =2( y 1 -1) ，代入椭圆得 y 2 =

5×

1

2 -3

4×

1

2 =-

1

4 ，

∴ x 2 2 =

15

8

∴ x 2 =±

30

4

∴ y=±

3

30

10 x+2

（3）（i）∵由过F ₁的直线交曲线于Q，S两点，过F ₂的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT

∴W在以F ₁F ₂为直径的圆上，F ₁F ₂=2

∴x ₀ ²+y ₀ ²=1

∴

x 0 2

2 + y 0 2 ＜ x 0 2 + y 0 2 =1

（ii）设QS的方程为y=k（x+1）（当k存在且不为0时）

代入

x 2

2 + y 2 =1

∴（1+2k ²）x ²+4k ²x+2k ²-2=0

设Q（x ₃，y ₃），S（x ₄，y ₄）

∴ x 3 + x 4 =

-4 k 2

1+2 k 2 ， x 3 x 4 =

2 k 2 -2

1+2 k 2 ，

∴ |QS|=

1+ k 2 | x 3 - x 4 |=2

2

1+ k 2

1+2 k 2 ，

∵QS⊥RT

∴ KRT=-

1

k ，同理， |RT|=2

2 •

k 2 +1

k 2 +2

∴ S=

1

2 RT•QS=4•

(1+ k 2 ) 2

(1+2 k 2 )( k 2 2) ≥ 4•

(1+ k 2 )

(

1+2 k 2 + k 2 +2

2 ) 2 =

16

9 （当且仅当k ²=1时，取等号）

当k不存在或k=0时， S=

2

∵

16

9 ＞

2

∴ S min =

2