Question

如图,已知D是RT△ABC中直角边BC上的一点,以BD为直径的圆交斜边AB于点E,连EC交此圆与点F,连接BF并延长交A

Answer 1

需要求证的结论应该是：CF·CA＝CF·EA.

［证明］

∵BD是直径,∴AE⊥DE,∴∠AEC＝90°－∠DEF.

∵B、D、F、E共圆,∴∠DEF＝∠DBG,∴∠AEC＝90°－∠DBG.

∵BC⊥CG,∴∠FGC＝90°－∠DBG,∴∠AEC＝∠FGC.······①

∵AE⊥DE、AC⊥DC,∴A、E、D、C共圆,∴∠EAC＝∠BDE.

∵B、D、F、E共圆,∴∠BDE＝∠BFE,∴∠EAC＝∠BFE,而∠BFE＝∠GFC,

∴∠EAC＝∠GFC.······②

由①、②,得：△AEC∽△FGC,∴EA/GF＝CA/CF,∴CF·CA＝CF·EA.

［以下证明CF＞CD.］

∵B、D、F、E共圆,∴∠CDF＝∠BEF＞∠BED＝90°.

∵B、D、F、E共圆,∴∠CFD＝∠ABC＜90°,∴∠CDF＞∠CFD,∴CF＞CD.