Question

已知f（θ）=1-2sinθ，g（θ）=3-4cos2θ．记F（θ）=a•f（θ）+b•g（θ）（其中a，b都为常数，且

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）将a与b的值代入利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用二次函数的性质即可求出F（θ）的最大值及此时的θ值；

（Ⅱ）F（θ）解析式利用同角三角函数间的基本关系整理后，设sinθ=x，得到G（x）关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，

①当[a/4b]≤[1/2]，即2b≥a时，求出G（x）的最大值为G（1），当[a/4b]＞[1/2]，即2b＜a时，G（x）的最大值G（0），即可得证；

②要证F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求证G（x）_min+|2b-a|+b≥0，其中G（x）=4b（x-[a/4b]）²+a-b-

a

2

4b

（0≤x≤1），

当[a/4b]＜0，即a＜0时，G（x）_min+|2b-a|+b大于0，当0≤[a/4b]≤1，0≤a≤4b时，G（x）_min+|2b-a|+b也大于0，得证．

（Ⅰ）若a=4，b=1时，F（θ）=4（1-2sinθ）+3-4cos²θ=4（sinθ-1）²-1，

则F（θ）_max=15，此时的θ=2kπ-[π/2]（k∈Z）；

（Ⅱ）证明：F（θ）=a（1-2sinθ）+b（3-4cos²θ）=4b（sinθ-[a/4b]）²+a-b-

a2

4b，

令sinθ=x∈[0，1]，记G（x）=4b（x-[a/4b]）²+a-b-

a2

4b（0≤x≤1），

则其对称轴x=[a/4b]；

①当[a/4b]≤[1/2]，即2b≥a时，G（x）_max=G（1）=3b-a；

当[a/4b]>[1/2]，即2b

max=G（0）=a-b，

则G（x）_max=F（θ）_max=

3b-a(2b≥a)

a-b(2b

②F（θ）+|2b-a|+b≥0，即求证G（x）_min+|2b-a|+b≥0，

其中G（x）=4b（x-[a/4b]）²+a-b-

a2

4b（0≤x≤1），

当[a/4b]<0，即a<0时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（0）+2b-a+b=2b>0，

当0≤[a/4b]≤1，即0≤a≤4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（[a/4b]）+|2b-a|+b=a-b-

a2

4b+|2b-a|+b

=a-

a2

4b+|2b-a|=

a(4b-a)

4b+|2b-a|≥0，

当[a/4b]>1，即a>4b时，G（x）_min+|2b-a|+b=G（1）+a-2b+b=2b>0，

综上：F（θ）+|2b-a|+b≥0．

点评：

本题考点： 两角和与差的正弦函数；函数最值的应用；正弦函数的定义域和值域．

考点点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，函数最值的应用，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．