Question

从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴右端点A与短轴上端点

Answer 1

解题思路：（1）由已知可设M的坐标代入椭圆方程，根据M在第二象限求得M的坐标，又根据AB∥OM可知k_AB=k_OM．进而可得-

b

2

ac

=-[b/a]，求得b和c的关系，进而求得a和c的关系，椭圆的离心率可得．

（2）设|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，代入余弦定理，根据均值不等式求得cos∠F₁QF₂的范围进而求得∠F₁QF₂的范围．

（3）根据CD∥AB，求得直线CD的斜率，进而可得直线CD的方程，与椭圆方程联立，消去y，设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），根据韦达定理进而可表示出|CD|求得b，则a可得，最后求得椭圆的方程．

（1）由已知可设M（-c，y），

则有

(−c)2

a2+

y2

b2=1．

∵M在第二象限，∴M（-c，

b2

a）．

又由AB∥OM，可知k_AB=k_OM．

∴-

b2

ac=-[b/a]．∴b=c．∴a=

2b．

∴e=[c/a]=

2

2．

（2）设|F₁Q|=m，|F₂Q|=n，

则m+n=2a，mn＞0．|F₁F₂|=2c，a²=2c²，

∴cos∠F₁QF₂=

m2+n2−4c2

2mn=

(m+n)2−2mn−4c2

2mn=

4a2−4c2

2mn-1=

a2

mn-1≥

a2

(

m+n

2)2-1=

a2

a2-1=0．

当且仅当m=n=a时，等号成立．

故∠F₁QF₂∈[0，

点评：

本题考点： 椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的应用．涉及了直线与椭圆的关系，考查了学生对问题的综合把握．