|OP|=√2;所以设P(√2cosβ,√2sinβ);
∠OPM可以看成是两向量PO与PM的夹角；
向量PO=(-√2cosβ,-√2sinβ);向量PM=(-1-√2cosβ,-√2sinβ)
|PO|=√2;|PM|=√[(-1-√2cosβ)²+(-√2sinβ)²]=√[3+2√2cosβ]
cos∠OPM=向量PO⊙向量PM/(|PO||PM|)=[(-√2cosβ)(-1-√2cosβ)+(-√2sinβ)(-√2sinβ)]/[（√2）×
√（3+2√2cosβ)]=(2+√2cosβ)/[√2×√(3+2√2cosβ)]=(√2+cosβ)/√(3+2√2cosβ)
令t=√（3+2√2cosβ);因为-1≤cosβ≤1;所以√2-1≤t≤√2+1;则t²=3+2√2cosβ; cosβ=(√2/4)t²-3√2/4;
cos∠OPM=(√2+cosβ)/t=(√2+√2t²/4-3√2/4)/t=(√2/4)(1+t²)/t=(√2/4)(t+1/t)
这个关于t的函数在[√2-1,1]上是减函数；在[1,√2+1]上是增函数；
t=1时,函数取到最小值√2/2;
t=√2-1或t=√2+1时,函数取到最大值(√2/4)(2√2)=1;
则cos∠OPM的取值范围是[√2/2,1]