Question

已知各项均为正数的数列{a n }的前n项和满足S 1 ＞1，且6S n =（a n +1）（a n +2），n∈N*．

Answer 1

（1）由

，解得a ₁=1或a ₁=2，

由假设a ₁=S ₁＞1，因此a ₁=2，

又由

，

得（a _n+1+a _n）（a _n+1﹣a _n﹣3）=0，

即a _n+1﹣a _n﹣3=0或a _n+1=﹣a _n，

因a _n＞0，故a _n+1=﹣a _n不成立，舍去

因此a _n+1﹣a _n=3，

从而{a _n}是公差为3，首项为2的等差数列，

故{a _n}的通项为a _n=3n﹣1

（2）证明：由

可解得

；

从而

因此

令

，

则

、

因（3n+3） ³﹣（3n+5）（3n+2） ²=9n+7＞0，

故f（n+1）＞f（n）

特别地

，

从而3T _n+1﹣log ₂（a _n+3）=log ₂f（n）＞0、

即3T _n+1＞log ₂（a _n+3）