Question

如图，已知正三棱柱ABC=A 1 B 1 C 1 的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC 1 上，且不与点C重

Answer 1

（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC ₁，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A ₁C

∴EN⊥侧面A ₁C

NF为EF在侧面A ₁C内的射影

在直角三角形CNF中，CN=1

则由

CF

CC 1 =

CN

CA =

1

4 ，得NF ∥ AC ₁，又AC ₁⊥A ₁C，故NF⊥A ₁C

由三垂线定理可知EF⊥A ₁C

（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME

由（I）可知EN⊥侧面A ₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF

∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ

设∠FAC=α则0°＜α≤45°，

在直角三角形CNE中，NE=

3 ，在直角三角形AMN中，MN=3sinα

故tanθ=

3

3sinα ，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

2

2

故当α=45°时，tanθ达到最小值，

tanθ=

6

3 ，此时F与C ₁重合