Question

已知直线l被直线l 1 ：2x+y+1=0与l 2 ：x-2y-3=0截得的线段中点恰好为坐标原点．

Answer 1

（1）设l ₁与l的交点P（a，-2a-1），l ₂与l的交点Q（2b+3，b）

则

a+2b+3=0

-2a-1+b=0

∴b=-1，则Q（1，-1），

故l的方程为：x+y=0（6分）

（2）设抛物线上存在两点M（x ₁，y ₁），N（x ₂，y ₂）关于直线l：x+y=0对称

设l _MN：y=x+t线段MN的中点位A（x ₀，y ₀）

由

y=x+t

y=a x 2 -1 得ax ²-x-t-1=0（8分）

△=1+4a（t+1）＞0①

且 x ^ + x ^ =

1

a x ^ x ^ =-

t+1

a ∴ x 0 =

1

2a y 0 =

1

2a +t ∴ A(

1

2a ，

1

2a +t) （10分）

中点 A(

1

2a ，

1

2a +t) 在直线x+y=0上∴

1

2a +

1

2a +t=0 即 t=-

1

a 代入①得： a＞

3

4

即当 a＞

3

4 时，抛物线上存在两点关于直线l：x+y=0对称，

故抛物线上不存在两点关于直线l：x+y=0对称时， a≤

3

4 且a≠0 （14分）