Question

已知f（x）=mx（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a1），f（a2），…，f（an），…（n∈N*）是首项为m2，公

Answer 1

解题思路：（I）根据等比数列的通项公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，从而可得a_n=n+1，进而可证数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；

（II）当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用错位相减法可求数列的和；

证明：（I）由题意f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，

即man＝mn+1．

∴a_n=n+1，（2分）

∴a_n+1-a_n=1，

∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．

（II）由题意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，

当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹

∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹①

①式两端同乘以2，得

2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²②

②-①并整理，得

S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²

=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²

=-2²-

2 2(1−2n)

1−2+（n+1）•2ⁿ⁺²

=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=2ⁿ⁺²•n．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项，掌握求和公式是关键．